Je n'ai pas eu beaucoup de loisirs ces temps derniers. Je vais reprendre mon blog progressivement, en espérant que la peste brune me laissera enfin tranquille.
Pourquoi pas des maths?
Evidemment, on peut faire ses petits calculs comme M Jourdain faisait sa prose : par simple apprentissage. Mais si l'on veut fonder les mathématiques sur du solide, il faut repartir du début, en approfondissant ce qu'on appelle la logique. Et c'est passionnant.
Les propriétés des objets mathématiques sont des propositions auxquelles on peut attribuer des valeurs de vérité : "vrai" ou "faux. On les déduit donc les unes des autres, en partant d'axiomes précisés, ce qui les démontrent. On ne part donc pas de l'expérience, ni de la nature : comme je vous l'ai déjà dit, Dieu n'a pas créé les mathématiques!
Quelques définitions :
- la négation : la négation d'une proposition , écrite -| P ou non-P, est vraie si et seulement si P est fausse. Et toc! Notez que non-(non-P) a même valeur que P (vraie ou fausse).
- la disjonction : la proposition P v Q est vraie si et seulement si l'une ou l'autre des propositions P et Q est vraie. On prononce "P ou Q", ce qui n'implique pas que l'on ait soit P, soit Q, comme dans "la bourse ou la vie"...
- la conjonction : la proposition P^Q est vraie si et seulement si P et Q sont simultanément vraies. On prononce "P et Q"
- l'implication : la proposition P --> Q ("P entraîne Q") est l'abréviation de (non-P) v Q. D'où P-->Q est non-((non-->P) v Q) ou encore (non-(non-P))^(non-Q)), ou encore P ^(non-Q).
Et là, je devine qu'on aborde des profondeurs qui vous avaient échappées jusqu'à maintenant...
- l'équivalence : P<--> Q ("P est équivalent à Q") est l'abréviation de la formule (P-->Q)^(Q-->P)
- un théorème consiste à énoncer qu'une certaine proposition P, appelée hypothèse, entraîne une proposition Q, appelée conclusion. On dira P =>Q, ou encore P implique Q, ou P entraîne Q, ou "si P, alors Q", ou encore "P --> Q est vraie".
Ce qui est amusant c'est que Q peut être vraie, ou fausse, même si P est fausse. L'exemple le plus célèbre est "si 2=1, alors je suis le pape". Démonstration : le pape et moi sommes 2 personnes. Mais comme 2=1, nous n'en faisons plus qu'une. Donc je suis le pape, CQFD. Cette démonstration a été faite par Bertrand Russel, célèbre logicien.
Ce qui nous amène, après toutes ces définitions, à notre premier théorème : la proposition P--> Q est vraie si et seulement si non-Q --> non-P. On peut facilement démontrer que cette condition est nécessaire ("il faut") et suffisante( "et il suffit").
Je peux ainsi dire :" je ne suis pas le pape, donc 2 est différent de 1". Benoit XVI ne peut pas en dire autant puisqu'il est le pape. CQFD.
Merci à Laurent Schwartz...
